充要条件的教学浅析
充要条件是数学中一个重要概念，包括充分条件、必要条件、充要条件。它主要讨论命题的条件与结论的关系。本文拟通过课堂教学分析，使学生透彻理解和掌握这些关系及其本质特征，并能正确地应用这些概念对数学命题的条件和结论之间的逻辑关系作出判断，进而激发学生学习数学的积极性，培养学生逻辑思维能力，提高课堂教学的有效性。教学分析如下：
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一、充分条件
定义：性质A对于性质B的存在是充分的特征，如果有A的成立，可以得到B的成立。这就是说，条件A能保证结论B的成立，即条件A对于结论B的成立是充足的。
例1 如果两个三角线全等，那么这两个三角形的面积相等。
例2 若a，b都是正数，则ab也是正数。
例3 如果f（a）=0，那么多项式f（x）能被x-a整除。
在例1中，显然两个三角形全等的条件，完全保证了这两个三角形面积相等的结论的成立；如果把条件改为两个等底等高的三角形，这个结论仍能成立。但是，如果把命题的条件和结论互换，即如果两个三角形的面积相等，就不一定是全等三角形。
根据上面的讨论，对于充分条件的特征我们可以概括为：有此则必然，无此未必然。现在我们对这一特征作具体的分析：
（1）所谓“有此则必然”，记作A B，即表示只要具备了条件A，事件B一定能够成立。如例2，a，b都是正数的条件，也完全保证了积ab是正数的这个结论成立。
（2）所谓“无此未必然”，应作两方面理解，即“未必然”包含着“然”与“不然”两种可能。
（1）先看“无此也可然”的情形，如例2，如果把条件改为a，b都是负数，结论也仍然成立，这说明，对于充分条件，只要有此即可，并不是非此不可。换句话说，把条件A撤换后，命题中的结论仍有成立的可能。
（2）再看“无此也可不然”，如例3，如果f（a）≠0，那么多项式f（x）就不能被x-a整除。这就是说，如果没有条件A，事件B就不可能成立。
（3）如果把条件和结论互换（或互否），命题不一定成立，即B A不真（或A B不真）。仍如例2，若ab积为正数，这两个数不一定是正数。
事实上，例1，例2，例3的条件对于各自结论的成立来说都是充分条件，而例1，例2由于他们的逆命题或否命题不真，则条件仅仅是充分的。
二、必要条件
定义：性质B对于性质A的成立，是必要的特征，如果B不成立时，不可能有A成立。这就是说，如果没有条件B就没有结论A，那么就说条件B对于结论A的成立是必要的。
例4 如果tanA=tanB，那么A=B。
例5 对应角相等的两个三角形全等。
我们可以看出，这两个命题是不成立的，但他们的逆命题都成立。另一方面，命题中条件对于推出各自的结论又都是必不可少的。但仅有这些条件，对于保证结论的成立，也还是不够的，而没有这些条件，结论就不成立。
类似前面的讨论，对于必要条件的特征，也可概括为有此不必然，无此必不然。我们也对这个特征作具体分析：
（1）所谓“有此不必然”，即如果具备了条件B，不能保证结论A一定成立。这里也包含着“然”与“不然”两种可能。如例4，例5的条件就不能保证结论一定成立，因此是不够的。而前面例3的条件，对于结论的成立是必要的，又是充分的。
（2）至于“无此必不然”，就是说如果没有条件B，则事件A就不能成立，即条件B是不能被撤换的。如例4，显然若tanA≠tanB，则A≠B。
（3）如果把条件B和结论A互换（或互否），命题一定成立。即逆命题或否命题为真。如例5，若两个三角形全等，则他们的对应角相等。
例3，例，4，例5的条件对于各自结论的成立来说，都是必要条件，而例4，例5，由于只是逆命题为真而原命题不真，即条件并不能保证结论一定成立，故条件仅仅是必要的。
三、充要条件
定义：性质A对于性质B是充分必要的特征，如果A的成立，得出B的成立；并且A不成立时，不可能有B成立。这就是说：如果原命题的成立，他的逆命题也成立，则我们说原命题的条件是既充分而又必要的，也即A B。
例6 若b2-4ac=0，则实系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）必要等根。
例6还可叙述成：要使实系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）有等根，必须且只须b2-4ac=0。这里术语“必须”表示“必要条件”，而“只须”就表示“充分条件”。同样，对于例3我们也可叙述为“要使多项式f（x）能被x-a整除，必须且只须f（a）=0”或当且仅当f（a）=0，多项式f（x）能被x-a整除”。
如果A是B的充分必要条件，那么B也是A的充分必要条件。在实际应用中，我们把充分必要条件简称为充要条件。同时，还必须了解，我们说充分条件，应视为也包含充要条件，不要把它看成只“仅仅是充分的但非必要的”，即充分条件可以是充要条件，也可以是“仅仅是充分的”，对于必要条件，也可作同样的理解。
（作者单位：襄阳职业技术学院）
